مفاهیم اساسی نظریه احتمال. قوانین نظریه احتمال

بسیاری از مردم، زمانی که با مفهوم "نظریه احتمال" مواجه است، وحشت زده، فکر آن است که چیزی غیر قابل تحمل، بسیار دشوار است. اما در واقع خیلی غم انگیز نیست. امروز ما در مفاهیم اساسی نظریه احتمال نگاه، یادگیری برای حل مشکلات توسط نمونه های بتن.

علم

چه در حال مطالعه یک شاخه از ریاضیات به عنوان یک "نظریه احتمال"؟ آن را یادداشت الگوهای از رویدادهای تصادفی و متغیر. برای اولین بار این موضوع را دانشمندان نگران در قرن هجدهم، زمانی که قمار مطالعه قرار گرفت. مفاهیم اساسی نظریه احتمال - رویداد. آن را به هر واقعیتی است که با تجربه یا مشاهده اعلام شده است. اما آنچه تجربه است؟ یکی دیگر از مفهوم اساسی در نظریه احتمال. این بدان معنی است که این بخش از شرایط به طور تصادفی ایجاد نشده است، و با یک هدف. با توجه به نظارت، است که محقق در تجربه شرکت نمی وجود دارد، اما به سادگی یک شاهد عینی به این حوادث، آن است هیچ تاثیری در آنچه اتفاق می افتد.

حوادث

ما آموخته است که مفهوم اساسی در نظریه احتمال - این رویداد، اما طبقه بندی در نظر نیست. همه آنها به دسته های زیر تقسیم می شوند:

• قابل اعتماد.
• غیر ممکن است.
• تصادفی.

مهم نیست که چه واقعه است، که در حال تماشا و یا در این دوره از آزمایش ایجاد، آنها توسط این طبقه بندی است. ما ارائه می دهیم هر نوع ملاقات به طور جداگانه.

رویداد خاص

این یک واقعیت است که برای ایجاد مجموعه ای لازم از فعالیت ها است. به منظور درک بهتر ماهیت، بهتر است به چند مثال. این تابع قانون و فیزیک، شیمی، اقتصاد، و ریاضیات عالی است. نظریه احتمال شامل یک مفهوم مهم به عنوان یک رویداد قابل توجه است. در اینجا چند مثال:

• ما کار و دریافت پاداش در قالب دستمزد.
• خب گذشت امتحانات، رقابت تصویب آن را به دریافت پاداش در قالب ورود به یک موسسه آموزشی.
• ما پول در بانک سرمایه گذاری کرده اند، آنها را به عقب در صورت لزوم.

چنین رویدادهایی درست است. اگر ما همه شرایط لازم را انجام می داد، مطمئن شوید که برای به دست آوردن نتیجه انتظار می رود.

رویداد غیر ممکن

در حال حاضر ما عناصر نظریه احتمال در نظر بگیرید. پیشنهاد ما برای رفتن به توضیحات در انواع زیر از وقایع - یعنی غیر ممکن است. برای شروع تصریح حکومت مهم ترین - احتمال یک رویداد غیر ممکن صفر است.

از این فرمول می تواند در حل مشکلات derogated شود. برای نشان دادن نمونه هایی از چنین حوادث:

• آب در دمای علاوه ده (این غیر ممکن است) منجمد شده است.
• فقدان برق می کند تولید تاثیر نمی گذارد (به عنوان غیر ممکن همانطور که در مثال قبلی).

مثال های بیشتر داده می شود لازم نیست، همانطور که در بالا بسیار به وضوح شرح منعکس کننده ماهیت این دسته است. رویداد غیر ممکن هرگز در طول آزمایش تحت هیچ شرایطی اتفاق می افتد.

رویدادهای تصادفی

با مطالعه عناصر نظریه احتمال، توجه ویژه ای باید به نوع داده شده از رویداد پرداخت می شود. اینها کسانی هستند مطالعه این علم هستند. به عنوان یک نتیجه از تجربه چیزی می تواند رخ دهد یا نه. علاوه بر این، آزمون تعداد نامحدودی از بار می تواند انجام شود. نمونه های قابل توجه عبارتند از:

• بازی شیر یا خط سکه - این رویداد - آن را تجربه و یا آزمون، از دست دادن یک عقاب است.
• کشیدن توپ از کیسه کورکورانه - این رویداد و غیره - آزمون، توپ قرمز گرفتار شد.

این نمونه ها می تواند تعداد نامحدود، اما، به طور کلی، باید درک شود. به طور خلاصه و نظام مند دانش به دست آورد در مورد وقایع یک جدول. مطالعات نظریه احتمال تنها نوع دوم از همه معرفی شده اند.

قوانین

نظریه احتمال - علم است که احتمال از دست دادن از هر رویداد پرداخته است. مانند دیگران، آن است برخی از قوانین. قوانین زیر از نظریه احتمال:

• همگرایی دنباله از متغیرهای تصادفی.
• قانون اعداد بزرگ است.

هنگام محاسبه احتمال یک مجموعه را می توان مورد استفاده قرار حوادث پیچیده ساده برای دستیابی به نتایج راه ساده تر و سریع تر است. لازم به ذکر است که قوانین نظریه احتمال به راحتی می توان با کمک برخی از قضایای ثابت شده است. ما پیشنهاد می کنیم شروع به گرفتن با قانون اول آشنا می شود.

همگرایی دنباله از متغیرهای تصادفی

توجه داشته باشید که همگرایی انواع مختلفی:

• دنباله از متغیرهای تصادفی در احتمال همگرایی.
• تقریبا غیر ممکن است.
• همگرایی RMS است.
• همگرایی در توزیع.

بنابراین، در پرواز، آن را بسیار دشوار است به درک ماهیت. در اینجا تعاریف که کمک خواهد کرد برای درک موضوع است. برای شروع با اولین نگاه. دنباله به نام همگرایی در احتمال، اگر شرایط زیر: n به بی نهایت، تعداد مورد نظر توالی بزرگتر از صفر و نزدیک به واحد است.

به نمای بعدی، تقریبا به طور قطع. آنها می گویند که دنباله همگرا مطمئنا به یک متغیر تصادفی با n رسیدگی به بی نهایت، و R، رسیدگی به مقداری نزدیک به وحدت است.

نوع بعدی - همگرایی RMS است. هنگام استفاده از همگرایی SC-یادگیری فرایندهای تصادفی بردار را کاهش می دهد به مطالعه فرایندهای تصادفی هماهنگ می کند.

آخرین نوع بود، اجازه دهید نگاهی به طور خلاصه و به طور مستقیم به راه حل مشکلات. همگرایی در توزیع است نام دیگری - "ضعیف"، و سپس توضیح دهد که چرا. همگرایی ضعیف - همگرایی توابع توزیع در تمام نقاط تداوم تابع توزیع محدود است.

مطمئن باشید که برای نگه داشتن وعده: همگرایی ضعیف مختلف از همه در بالا این است که متغیر تصادفی در فضای احتمال تعریف نشده است. این ممکن است به دلیل شرایط تشکیل شده است منحصرا با استفاده از توابع توزیع.

قانون اعداد بزرگ

یاور بزرگ در اثبات قانون خواهد بود قضایای نظریه احتمال، از قبیل:

• نابرابری چبیشف.
• قضیه چبیشف.
• قضیه چبیشف تعمیم داد.
• قضیه مارکف.

اگر همه ما این قضیه در نظر بگیرید، سپس مسئله ممکن است چند ده ورق را. ما وظیفه اصلی - استفاده از نظریه احتمال در عمل است. ما به شما در حال حاضر و آن را انجام. اما قبل از ما بدیهیات از نظریه احتمال در نظر بگیریم، آنها شرکای کلیدی در حل مشکلات می باشد.

بدیهیات

از ابتدا، ما در حال حاضر دیده می شود، در هنگام صحبت کردن در مورد این رویداد غیر ممکن است. بیایید به یاد داشته باشید: احتمال یک رویداد غیر ممکن صفر است. به عنوان مثال ما داد بسیار زنده و به یاد ماندنی: برف سقوط کرد در درجه حرارت هوا از سی درجه سانتیگراد است.

دوم شرح زیر است: یک واقعه خاص با وحدت احتمال رخ می دهد. در حال حاضر ما نشان خواهد داد که چگونه آن را با کمک زبان ریاضی نوشته شده است: P (B) = 1.

سوم: یک رویداد تصادفی ممکن است رخ دهد یا نه، اما احتمال دارد همیشه متفاوت از صفر به یک. نزدیک تر از آن به وحدت، شانس بیشتری است. اگر مقدار نزدیک به صفر است، احتمال بسیار کم است. ما این ارسال در زبان ریاضی: 0

آخرین، اصل چهارم در نظر بگیرید، این است که: از مجموع احتمال دو رویداد به مجموع احتمالات آنها برابر است. ارسال نظر ریاضی: P (A + B) = P (A) + P (B).

از بدیهیات تئوری احتمال - این یک قاعده ساده است که دشوار خواهد بود به یاد داشته باشید است. بیایید سعی کنید به حل برخی از مشکلات، بر اساس دانش در حال حاضر به دست آورد.

بلیط بخت آزمایی

قرعه کشی - اول، ساده ترین مثال در نظر بگیرید. تصور کنید که شما یک بلیط قرعه کشی برای موفق باشید خریداری شده است. احتمال این که شما حداقل بیست روبل برنده چیست؟ پنج - گردش مجموع در یک هزار بلیط، که یکی از آنها یک جایزه از پنج صد روبل، ده صد روبل، بیست و پنجاه روبل، و صد است. این کار از نظریه احتمال در مورد چگونگی پیدا کردن یک راه به شانس است. حالا ما با هم تصمیم گیری در بالا از نظر وظایف تجزیه و تحلیل.

اگر ما با یک جایزه از پنج صد روبل دلالت، آنگاه احتمال A تا 0.001 برابر است. چگونه ما را دریافت کنید؟ فقط تعدادی از بلیط "خوش شانس" تقسیم بر تعداد کل (: 1/1000 در این مورد) نیاز دارید.

در - افزایش صد روبل، این احتمال را به 0.01 برابر خواهد شد. در حال حاضر ما در همان راه به عنوان آخرین اقدام عمل (10/1000)

C - بازده بیست روبل است. یافتن احتمال، آن را به 0.05 برابر است.

بقیه بلیط ما علاقه مند هستند، به عنوان پول جایزه خود را کمتر از مشخص شده در این بیماری است. درخواست یک اصل چهارم: احتمال برنده شدن حداقل بیست روبل P (A) + P (B) است + P (C). حرف P نشان دهنده احتمال منشاء رویداد، ما در مراحل قبلی در حال حاضر آنها پیدا شده است. آن باقی مانده تنها به وضع اطلاعات لازم، پاسخ ما .061. این تعداد خواهد بود که پاسخ به این سوال از مشاغل است.

عرشه از کارت

مشکلات در نظریه احتمالات، نیز پیچیده تر هستند، وجود دارد به عنوان مثال، کار بعدی. قبل از اینکه شما عرشه از سی و شش کارت. وظیفه شما - برای کشیدن دو کارت در یک ردیف، بدون مخلوط کردن شمع، کارت های اول و دوم باید مطلب باشد، لباس مهم نیست.

برای شروع، پیدا احتمال این که کارت اول یک تک خال است، این تقسیم چهار و سی و شش. تنظیم آن را کنار گذاشته است. ما یک کارت دوم یک تک خال با احتمال 335 است. احتمال رخداد دوم بستگی دارد که کارت ما یکی از اولین کشیده، ما علاقه مند هستند، آن را به یک تک خال بود یا نه. از این که آن را زیر در صورت بستگی به رویداد الف

گام بعدی ما احتمال اجرای همزمان پیدا کنید، به عنوان مثال، ضرب A و B کار آنها به شرح زیر است: احتمال یک رویداد ضرب در احتمال شرطی دیگر، ما محاسبه، فرض کنید که اولین رویداد رخ داده است، به عنوان مثال، کارت اول ما یک تک خال کشیده شده است.

به منظور تبدیل شدن همه روشن است، به طراحی عنصر مانند احتمال شرطی این رویداد است. این است که توسط این فرض که رویداد A اتفاق افتاد محاسبه می شود. آن را به عنوان زیر محاسبه میشود: P (B / A).

P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) یا P (A _* B) = P (B) _* P (A / B): ما راه حلی برای مشکل ما را گسترش دهد. احتمال است (4/36) _* ((3/35) / (4/36) توسط گرد کردن به نزدیکترین صدم محاسبه ما: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0، 82 = 0.09. احتمال این که ما در قرعه کشی دو مطلب در یک ردیف به نه صدم برابر است. ارزش بسیار کوچک است، که آن را زیر احتمال وقوع رویداد بسیار کم است.

اتاق را فراموش کرده

پیشنهاد ما را از برخی از گزینه های بیشتری از مشاغل است که به مطالعه نظریه احتمال. نمونه هایی از راه حل برخی از آنهایی که شما را در این مقاله دیده می شود، سعی کنید برای حل مشکل زیر است: پسر شماره تلفن برای آخرین رقم از دوستان خود را فراموش کرده، اما از آنجا که پاسخ بسیار مهم بود، پس از آن شروع به بلند کردن هر یک به نوبه. ما نیاز به محاسبه احتمال که او را بیش از سه بار پاسخ. ساده ترین راه حل این مشکل، اگر شما می دانید قوانین، قوانین و اصول موضوعه نظریه احتمالات.

قبل از اینکه شما یک راه حل، سعی کنید به حل خود به خود. ما می دانیم که رقم دوم ممکن است از صفر تا نه، در مجموع از ده ارزش. نمره احتمال مورد نیاز است 01/10.

بعد ما باید به در نظر گرفتن گزینه برای منشاء حوادث، فرض کنیم که این پسر راست حدس زده و موفق به کسب حق، احتمال چنین رویدادی به 1/10 برابر است. گزینه دوم: اولین لغزش تماس، و هدف دوم. 9/10 توسط 1/9 در پایان ما به عنوان 1/10 از ضرب: ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه کند. گزینه سوم: تماس اول و دوم معلوم شد که آدرس اشتباه است، تنها پسر سوم بود که در آن او می خواست. محاسبه احتمال چنین رویدادی: 9/10 ضرب 8/9 و 1/8، ما به عنوان یک نتیجه از 1/10 به دست آورد. گزینه های دیگر به شرط مشکل ما علاقه مند هستند، این باقی می ماند برای ما به وضع این نتایج، در پایان ما یک 3/10. جواب: این احتمال که یک پسر بیش از سه بار، برابر با 0.3 است.

کارت با شماره های

قبل از اینکه شما نه کارت، که هر کدام یک عدد از یک تا نه نوشته شده است، تعداد تکرار نشود. آنها در یک جعبه قرار داده و کاملا مخلوط کنید. شما نیاز به محاسبه احتمال این که

• نورد تعداد حتی؛
• یک رقمی دو.

قبل از اقدام به تصمیم تصریح می کند که متر - تعداد موارد موفق است، و n - تعداد کل گزینه است. اجازه دهید ما احتمال این که تعداد است و حتی پیدا سخت است نه به محاسبه که حتی تعداد چهار، و آن را متر ما، تمام نه گزینه های ممکن، است که، متر = 9 است. سپس احتمال به 0.44 یا 4/9 برابر است.

ما در نظر مورد دوم، تعدادی از انواع نه، و یک نتیجه موفقیت آمیز نمی تواند در همه، این است که، متر صفر است. احتمال این که کارت کشیده شامل یک عدد دو رقمی، که صفر است.