جبر بولی. جبر منطق. المان ها از منطق ریاضی

در جهان امروز ما به طور فزاینده با استفاده از انواع ماشین آلات و اسباب بازی. و نه تنها زمانی که لازم به اعمال قدرت به معنای واقعی کلمه فوق بشری است: حرکت بار، باید آن را به ارتفاع، حفاری ترانشه طولانی و عمیق، و غیره ماشین امروز جمع آوری روبات ها، مواد غذایی پخته شده Multivarki و محاسبات ریاضی ابتدایی تولید ماشین حساب ... بیشتر و بیشتر ما از عبارت "جبر بولی" بشنود. شاید زمان آن رسیده است به درک نقش انسان در ایجاد روبات ها و ماشین توانایی حل نه تنها ریاضی، بلکه مشکلات منطقی.

منطق

در منطق یونانی - یک سیستم منظم فکری است که ایجاد رابطه بین شرایط داده شده و اجازه می دهد تا شما را به استنتاج مبتنی بر مفروضات و تخمین می زند. اغلب، ما از یکدیگر: "این منطقی است که" پاسخ مفروضات ما تایید یا نقد قطار از فکر. اما این روند متوقف نمی وجود دارد: ما همچنان به صحبت کنید.

گاهی اوقات تعدادی از شرایط (ورودی) آنقدر بزرگ است، و رابطه بین آنها خیلی گیج کننده و پیچیده است که مغز انسان قادر به "هضم" همه در یک بار است. شما ممکن است بیشتر از یک ماه (هفته، سال) برای درک آنچه اتفاق می افتد نیاز دارند. اما زندگی مدرن به ما این فاصله ی زمانی برای تصمیم گیری است. و ما به کمک رایانه متوسل می شوند. و در اینجا است که یک جبر و منطق وجود دارد، با قوانین و خواص آن است. پس از دانلود تمامی از داده های اصلی، ما اجازه می دهد کامپیوتر به رسمیت شناختن همه روابط، برای از بین بردن تناقضات و برای پیدا کردن یک راه حل رضایت بخش.

ریاضیات و منطق

مشهور Gotfrid Vilgelm Leybnits مفهوم "منطق ریاضی"، که وظایف آسان به درک فقط یک دایره کوچک از دانشمندان بودند فرموله شده است. علاقه خاص جهت ایجاد نمی باشد، و به اواسط قرن نوزدهم از منطق ریاضی شناخته شده توسط چند.

علاقه زیادی به جامعه علمی باعث شده است که اختلاف که در آن انگلیسی Dzhordzh Bul به تصمیم خود مبنی ایجاد شاخه ای از ریاضیات، داشتن مطلقا هیچ استفاده عملی نیست. همانطور که ما از تاریخ می دانیم، در این زمان فعال در حال توسعه تولید صنعتی، ما را توسعه انواع ماشین آلات کمکی، تی. ای. همه اکتشافات علمی یک جهت گیری عملی داشته اند.

نگاه به آینده، که می گوییم جبر بولی - ترین مورد استفاده در جهان امروز بخشی از ریاضیات. بنابراین استدلال خود را بول از دست داد.

Dzhordzh ها Bul

شخصیت نویسنده سزاوار توجه ویژه. حتی با توجه به این واقعیت است که در گذشته مردم قبل از ما بزرگ شده، هنوز هم باید توجه داشت که در 16 سال جان. بول در مدرسه روستا آموخت، و به 20 سال مدرسه خود را در لینکلن را باز کرد. ریاضیدان کاملا تسلط پنج زبان خارجی، و در اوقات فراغت خود، خواندن آثار نیوتن و لاگرانژ. و این همه - در پسر یک کارگر عادی!

در سال 1839، برای اولین بار بول مقالات علمی خود را در کمبریج ریاضی مجله ارسال شود. دانشمند تبدیل 24 سال است. کار بولی را اعضای علاقه مند از انجمن سلطنتی، در سال 1844 او مدال برای سهم خود را به توسعه دریافت کرده است تجزیه و تحلیل ریاضی. چند مقاله منتشر شده که در آن عناصر از منطق ریاضی، ریاضیات اجازه جوان را به تنها استاد در دانشکده شهرستان کورک توصیف شده است. به یاد بیاورید که در آموزش و پرورش بسیار بول بود.

فکر

در اصل، جبر بولی بسیار ساده است. وجود دارد اظهارات (منطقی عبارت) که، از نقطه نظر ریاضی، تنها می تواند در دو کلمه تعریف می شود: "درست" یا "نادرست". برای مثال، درختان در بهار شکوفه - حقیقت، در تابستان برف می بارد - یک دروغ است. زیبایی ریاضیات این است که به شدت لازم است به استفاده از تنها اعداد. برای قضاوت جبر کاملا متناسب با هر اظهارات را با معنای منحصر به فرد.

بنابراین، جبر منطق می توان به معنای واقعی کلمه در همه جا استفاده می شود: در برنامه ریزی و نوشتن آموزش، تجزیه و تحلیل اطلاعات متناقضی در مورد حوادث و تعیین دنباله ای از اعمال. مهم ترین چیز - به درک که مهم نیست که چگونه ما حقیقت یا کذب اظهارات تعیین می کند. از این "چگونه" و "چرا" شما نیاز به نادیده گرفت. آنچه مهم تنها یک بیانیه از واقعیت است: در حقیقت یک دروغ است.

البته، برنامه نویسی توابع مهم ترین جبر منطق است که با علائم و نشانه هایی مناسب ثبت شده است. و یادگیری آنها - به این معنی برای یادگیری یک زبان جدید خارجی. هیچ چیز غیر ممکن است.

مفاهیم پایه و تعاریف

بدون رفتن به عمق، ما با اصطلاحات رسیدگی کند. بنابراین، جبر بولی فرض استوار است:

• اظهارات؛
• عملیات منطقی؛
• توابع و قوانین.

بیانیه ها - هر عبارت مثبت است که می تواند تفسیر دو ارزش. آنها به عنوان اعداد (5> 3) یا فرموله کلمات آشنا (- بزرگترین پستاندار فیل) نوشته شده است. در این مورد، عبارت "گردن زرافه به این نیست که" نیز حق دارد وجود داشته، تنها جبر بولی آن را به عنوان تعریف "یک دروغ است."

تمام اظهارات باید بدون ابهام باشد، اما آنها ممکن است پایه یا مرکب. های اخیر استفاده از بسته نرم افزاری منطقی است. ث: در ترکیب اظهارات جبر قضاوت تشکیل علاوه بر این از عملیات منطق ابتدایی.

عملیات جبر بولی

ما در حال حاضر به یاد داشته باشید که عملیات در جبر و مقابله از قضاوت - منطقی است. فقط به عنوان جبر اعداد با استفاده از عملیات ریاضی را به اضافه کردن، تفریق، و یا مقایسه اعداد، عناصر منطق ریاضی اجازه می دهد به اظهارات پیچیده، به انکار و یا برای محاسبه نتیجه نهایی.

عملیات منطقی برای رسمی و سادگی بیان شده توسط فرمول، آشنا به ما در حساب. خواص از معادلات جبر بولی را می توان به ضبط و محاسبه ناشناخته است. عملیات منطقی معمولا توسط جدول درستی ثبت شده است. عناصر آن ستون ها و عملیات محاسباتی که بر روی آنها انجام تعریف و ردیف را نشان می دهد نتیجه محاسبات.

منطق اساسی عمل

شایع ترین در عملیات جبر بولی هستند نفی (NOT)، و منطقی AND و OR. بنابراین ممکن است برای توصیف عملا تمام مراحل در قضاوت جبر. ما در جزئیات هر یک از سه عملیات مطالعه قرار گرفت.

نفی (نه) به تنها یک عنصر (عملوند) اعمال می شود. بنابراین، عمل است نفی یگانه گویند. برای ضبط مفهوم "نه" استفاده از چنین علامت: ¬A، یک یا A! در فرم جدولی مثل این می رسد:

عملکرد انکار معمولی از چنین بیانیه ای: اگر A درست باشد، پس A - نادرست است. به عنوان مثال، ماه به دور زمین - حقیقت؛ دروغ - زمین به دور ماه می چرخد.

ضرب منطقی و علاوه بر

منطقی و عملیات یک پیوستگی نامیده می شود. به چه معنی است؟ در مرحله اول، که می توان آن را به دو عملوند اعمال می شود، به عنوان مثال، من - .. عملیات دودویی. دوم، آن را تنها در مورد حقیقت هر دو عملوند (هر دو A و B) است، درست و بیان است. ضرب المثل، "صبر و کمی تلاش" اشاره میکند که تنها دو عامل می تواند کمک به یک فرد کنار آمدن با مشکلات.

A∧B، A⋅B یا A && ب: نمادها برای ضبط استفاده

رابطه مشابه ضرب در ریاضی است. گاهی اوقات و می گویند - ضرب منطقی است. اگر عناصر ردیف از جدول ضرب، ما را به نتایج مشابهی به تفکر منطقی است.

انفصال منطقی و یا عملیات است. این درست است اگر حداقل یکی از اظهارات درست (یا A یا B) است. A∨B، A + B یا A || ب: این است که مثل این نوشته جدول درستی این عملیات ها هستند:

انفصال حساب علاوه بر مشابه است. عملیات علاوه بر منطقی تنها یک محدودیت: 1 + 1 = 1. اما ما به یاد داشته باشید که در یک فرمت دیجیتال است به منطق ریاضی 0 و 1 محدود (که در آن 1 - حقیقت، 0 - غلط). به عنوان مثال، بیانیه "در موزه شما می توانید یک شاهکار را ببینید و یا پیدا کردن یک شرکت خوب" به معنای چیزی است که شما می توانید آثار هنری را ببینید، و آن را ممکن است برای دیدار یک فرد جالب. در همان زمان، حکومت نه از امکان تحقق همزمان هر دو حوادث.

توابع و قوانین

بنابراین، ما در حال حاضر چه عملیات منطقی با استفاده از جبر بولی مطمئن شوید. توابع توصیف تمام خواص عناصر از منطق ریاضی، و به ما اجازه ساده اظهارات ترکیب پیچیده. روشن ترین و ساده به نظر می رسد اموال رد عملیات مشتقات. با استفاده از مشتقات درک XOR، مفهوم و هم ارزی است. همانطور که ما تنها با عملیات اساسی خواندن، و پس از آن اموال است تنها آنها را در نظر بگیرید.

Associativity بدان معنی است که در صورتهای مانند "هر دو A و B و B 'را دنباله ای از عملوندها مهم نیست. فرمول به صورت زیر نوشته شده است:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V،

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

همانطور که می بینید، این است منحصر به فرد به همراه اما یک ترکیب فصلی است.

جابجایی استدلال می کند که در نتیجه پیوستگی یا گسست کند بستگی ندارد که مورد در ابتدا در نظر گرفته شد:

A∧B = B∧A؛ A∨B = B∨A.

Distributivity اجازه می دهد تا براکت در عبارات پیچیده منطقی را آشکار سازد. قوانین شبیه به پرانتز باز در ضرب و جمع در جبر عبارتند از:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V؛ A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

خواص واحد و خش، که می تواند یکی از عملوندها نیز شبیه به ضرب جبری بر صفر یا یک، و علاوه بر این از یک واحد عبارتند از:

A∧0 = 0، A∧1 = A؛ A∨0 = A، A∨1 = 1.

تکرارشونده به ما می گوید که اگر نسبتا دو عملوند برابر نتیجه عملیات همان است، شما می توانید "پرتاب" بیش از حد عملوند استدلال پیچیده. و عملیات همراه و ترکیب فصلی idempotent است.

B∧B = B؛ B∨B = B.

اکتساب همچنین اجازه می دهد تا ما را به ساده معادله است. جذب بیان می کند که زمانی که بیان به یک عملوند اعمال می شود، عملیات دیگری با همان عنصر از عملوند نتیجه جذب عملیات.

A∧B∨B = B؛ (A∨B) ∧B = B.

دنباله ای از عملیات

دنباله ای از عملیات از اهمیت زیادی. در واقع، به عنوان برای جبر، یک تابع اولویت است که با استفاده از یک جبر بولی وجود دارد. فرمول را می توان تنها به اهمیت این عملیات موضوع ساده است. رتبه بندی از مهمترین ناچیز، ما رشته های زیر به دست آورد:

1. انکار.

2. پیوند و اتصال.

3. ترکیب فصلی، XOR.

4. مفهوم، هم ارزی است.

همانطور که شما می توانید، تنها نفی رابطه را ببینید و اولویت برابر داشته باشند. یکی از اولویت های گسست و XOR برابر، و همچنین اولویت های مفهوم و هم ارزی است.

توابع ضمنی و هم ارزی

همانطور که ما گفته اند، علاوه بر عملیات منطقی پایه، منطق ریاضی و تئوری الگوریتم با استفاده از مشتقات. این است که اغلب مفهوم و هم ارزی است.

مفهوم و یا نتیجه منطقی - این بیانیه، که در آن یک عمل یک بیماری است، و از سوی دیگر - نتیجه اجرای آن است. به عبارت دیگر، این پیشنهاد با به بهانه «اگر ... آنگاه". "بعد از شام می آید حساب." E. برای رانندگی به بر روی تپه با سورتمه حمل کردن تنگ تر می شود. در صورتی که هیچ تمایلی به حرکت از کوه پایین، و سپس کشیدن سورتمه حمل کردن وجود دارد لازم نیست. است به طوری نوشته شده است: A B و یا A⇒B →.

هم ارزی نشان می دهد که اثر خالص رخ می دهد تنها زمانی که هر دو عملوند درست است. به عنوان مثال، شب راه را برای روز پس از آن (و تنها پس از) می دهد، وقتی که خورشید در افق بالا می رود. در زبان منطق ریاضی از این بیانیه به عنوان A≡B، A⇔B، A ب == نوشته شده

قوانین دیگر از جبر بولی

قضاوت جبر توسعه، و بسیاری از دانشمندان علاقه مند به ایجاد قوانین جدید. معروف ترین در نظر گرفته ادعا ریاضیدان اسکاتلندی O. د مورگان. او متوجه و یک تعریف از خواص مانند نفی نزدیک، علاوه بر این و منفی دو است.

نزدیک انکار کرد که قبل از پرانتز هیچ انکار: نه (A یا B) = نه A یا B نیست

هنگامی که عملوند را رد کرده است، صرف نظر از ارزش خود را، در مورد علاوه بر گفت:

B∧¬B = 0؛ B∨¬B = 1.

و در نهایت، نفی مضاعف خود را جبران می کند. به عنوان مثال قبل از هم نفی عملوند از بین می رود و یا تنها یک باقی مانده است.

چگونه برای حل تست

منطق دلالت ساده از پیش تعیین شده معادلات. فقط می خواهم در جبر دروغ، لازم است به حداکثر تسهیل شرط اول (به عملیات ورودی پیچیده خلاص، و با آنها)، و سپس شروع به دنبال یک پاسخ صحیح.

چه کاری انجام دهید به ساده؟ تبدیل تمام مشتقات در یک عملیات ساده است. پس از آن همه براکت کشف (و یا بالعکس، به براکت برای کاهش این عنصر). گام بعدی باید برای استفاده از خواص جبر بولی در عمل (خواص جذب صفر و یک، و تن).

در نهایت، معادله باید از حداقل تعداد مجهولات، همراه با عملیات ساده تشکیل شده است. ساده ترین راه برای دنبال یک راه حل، اگر شما تعداد زیادی از منفی نزدیک است. پس از آن پاسخ خواهد شد تا به عنوان اگر به خودی خود پاپ.