راسل پارادوکس: پس زمینه، مثال، اصطلاح

راسل از پارادوکس دو تناقض منطقی هم وابسته است.

دو شکل از پارادوکس راسل

فرم اغلب مورد بحث از یک تناقض در مجموعه منطق. برخی از مجموعه ای به نظر می رسد اعضای خود، و دیگران - هیچ. مجموعه ای از تمام مجموعه خود مجموعه ای است، بنابراین به نظر می رسد که آن را به خود اشاره دارد. تهی یا خالی، با این حال، آیا نباید عضو خودش باشد. بنابراین، مجموعه ای از تمام مجموعه ها، به عنوان صفر است را به خود گنجانده نشده است. پارادوکس زمانی رخ میدهد که این سوال که آیا مجموعه ای از یک عضو خودش نباشد. این امر ممکن است اگر و تنها اگر آن نمی باشد.

یکی دیگر از تناقض فرم یک تناقض در مورد خواص است. برخی از خواص، به نظر می رسد برای اشاره به خود، در حالی که دیگران از آنها نیست. اموال به اموال خود ملک است، در حالی که اموال آن را به یک گربه است. ملک از داشتن یک ویژگی است که به او تعلق ندارد در نظر بگیرید. اگر آن را به خود اعمال؟ باز هم، هر یک از فرضیات باید برعکس باشد. پارادوکس به افتخار برتراند راسل (1872-1970)، که آن را در سال 1901 کشف نامگذاری شد.

داستان

افتتاح راسل در طول کار خود را در "اصول ریاضیات" رخ داده است. اگر چه او تناقض به طور مستقل کشف، شواهدی وجود دارد که دیگر ریاضیدانان و توسعه دهندگان از تئوری مجموعه، از جمله ارنست تسرملو و دیوید هیلبرت، از اولین نسخه از تناقضات قبل از او آگاه بودند. راسل، با این حال، اولین کسی بود که در جزئیات تناقض در آثار منتشر شده اش مورد بحث بود، برای اولین بار تلاش به تدوین و فرموله راه حل ها و برای اولین بار به طور کامل درک اهمیت آن. یک فصل "اصول" به بحث در مورد این موضوع اختصاص داده شده بود، و نرم افزار به نظریه نوع، که راسل به عنوان یک راه حل پیشنهادی اختصاص داده شده بود.

راسل را کشف کرد "پارادوکس دروغگو، با توجه نظریه مجموعه کانتور که می گوید که از قدرت هر مجموعه ای کوچکتر از مجموعه ای از زیر مجموعه های آن است. حداقل در حوزه باید به عنوان بسیاری از زیر مجموعه به عنوان عناصر در آن وجود دارد، اگر یک زیر مجموعه از هر عنصر است که فقط شامل این عنصر. علاوه بر این، کانتور ثابت کرد که تعدادی از عناصر نمی تواند به تعداد زیر مجموعه های برابر است. اگر به همان تعداد وجود دارد، آن را مجبور به وجود ƒ ویژگی های است که عناصر در زیر مجموعه های خود نشان می دهد. در همان زمان می توان آن را ثابت کرد که این غیر ممکن است. برخی از موارد ممکن است در زیر مجموعه های تابع ƒ که حاوی آن نمایش داده شده، در حالی که دیگران ممکن است.

زیر مجموعه ای از عناصر که به تصاویر خود را، که در آن نمایش ƒ تعلق ندارد در نظر بگیرید. خودش یک زیر مجموعه از عناصر است، و بنابراین، ƒ تابع آن را بر روی یک عنصر در دامنه نمایش داده شود. مشکل این است که پس از آن سوال که آیا این عنصر متعلق به زیر مجموعه که آن را نمایش ƒ ناشی می شود. این تنها راه ممکن است اگر آن تعلق ندارد. پارادوکس راسل می تواند به عنوان یک مثال از همان خط استدلال دیده می شود، تنها ساده است. مجموعه یا زیر مجموعه های - چه تر است؟ به نظر می رسد که باید مجموعه های بیشتر وجود داشته باشد، به عنوان تمام زیر مجموعه از مجموعه های خود را دارند. اما اگر قضیه کانتور درست است، پس باید زیر مجموعه های بیشتر می شود. راسل در نظر گرفته به سادگی نمایش مجموعه را بر خود و اعمال روش kantoriansky توجه به مجموعه ای از تمام این عناصر، در خارج از مجموعه ای که در آن نمایش داده می شود. نمایش راسل مجموعه ای از تمام مجموعه ها، غیر شود.

خطا فرگه

"پارادوکس دروغگو" تاثیر عمیقی بر توسعه تاریخی نظریه مجموعه ها بود. او نشان داد که مفهوم مجموعه جهانی بسیار مشکل ساز است. او همچنین این تصور که برای هر بیماری یا گزاره تعریف می تواند به وجود از تکثر تنها آن چیزهایی است که از این وضعیت راضی فرض سوال. تناقض های موجود در رابطه با خواص - یک گسترش طبیعی به مجموعه نسخه - شک و تردید جدی در مورد اینکه آیا ممکن است در مورد وجود هدف از یک ملک و یا انطباق جهانی به هر تعیین شده توسط وضعیت، یا گزاره استدلال مطرح شده است.

به زودی تناقضات و مشکلات در کار منطق دانان پیدا شد، فیلسوفان و ریاضیدانان که پیش فرض های مشابهی را ساخته اند. در سال 1902، راسل پیدا شده است که یک نوع از تناقض را می توان در یک سیستم منطقی بیان می شود، توسعه یافته در جلد اول "مبانی علم حساب" کارهای فرگه، یکی از آثار اصلی در منطق اواخر XIX - XX اوایل قرن. در فلسفه فرگه بسیاری به عنوان یک "پسوند" و یا "ارزش برد" مفهوم قابل درک باشد. مفاهیم نزدیک به آن عوامل مرتبط با می باشد. انتظار می رود که برای هر نوع بیماری داده شده و یا محمول وجود داشته باشد. بنابراین، یک مفهوم از یک مجموعه، که تحت مفهوم تعریف آن نمی افتد وجود دارد. نیز وجود دارد یک کلاس تعریف شده با این عقیده، و آن را منوط به تعریف مفهوم آن تنها اگر آن نمی باشد است.

راسل به فرگه در مورد این درگیری در سال 1902 نوشت مکاتبات تبدیل به یکی از هیجان انگیز ترین و در مورد در تاریخ منطق صحبت کرد. فرگه بلافاصله پیامدهای فاجعه تناقض شناخته شده است. وی اشاره کرد، با این حال، که نسخه ای از جنجال در رابطه با خواص در فلسفه خود از طریق تمایز بین مفاهیم سطح حل و فصل شد.

مفهوم فرگه به عنوان گذار از استدلال از عملکرد درست درک شود. مفاهیم سطح اول مصرف به عنوان آرگومان اشیاء از مفاهیم سطح دوم به عنوان آرگومان به این توابع، و غیره است. بنابراین، مفهوم می توانید هرگز خود را به عنوان یک استدلال کنند، و تناقض، در دوره از خواص می فرموله شده است. با این وجود مجموعه، گسترش یا مفاهیم فرگه به عنوان اشاره به نوع منطقی همان است که از تمام اشیاء دیگر قابل درک باشد. سپس برای هر مجموعه ای است این سوال که آیا آن را تحت مفهوم تعریف آن می افتد وجود دارد.

هنگامی که فرگه، راسل حرف اول، جلد دوم از "مبانی علم حساب" را دریافت کرده است در حال حاضر چاپ به پایان رسید. او مجبور شد به سرعت آماده یک برنامه کاربردی است که به پاسخ به این تناقض راسل. نمونه هایی فرگه شامل تعدادی از راه حل های ممکن است. اما او به این نتیجه رسید برای تضعیف مفهوم مجموعه انتزاع در یک سیستم منطقی.

در اصل، به این نتیجه که شی متعلق به مجموعه اگر و تنها اگر آن را در درون مفهوم می افتد، آن را تعریف ممکن بود. سیستم تجدید نظر تنها می توان نتیجه گرفت که جسم متعلق به مجموعه اگر و تنها اگر آن را در درون مفهوم تعریف کثرت می افتد، اما در سوال تنظیم نشده است. پارادوکس راسل ناشی می شود.

راه حل، با این حال، به طور کامل با فرگه راضی نمی کند. و این دلیل بود. چند سال بعد، فرم پیچیده تر از تضاد شده است برای سیستم تجدید نظر شده است. اما حتی قبل از این اتفاق افتاد، فرگه تصمیم گیری های خود را رها کرده و به نظر می رسد برای رسیدن به این نتیجه رسیدند که رویکرد خود را به سادگی بیاستفاده بود، و منطق خواهد شد که بدون هر یک از مجموعه است.

هنوز دیگران مطرح شده است، راه حل های جایگزین نسبتا موفق تر است. این موارد در زیر بحث شده است.

تئوری انواع

آن شد بالا که فرگه پاسخ کافی برای پارادوکس بود از تئوری مجموعه در نسخه فرموله شده برای خواص. پاسخ فرگه شده توسط راه حل اغلب مورد بحث به این شکل از تناقض قبل بود. این است که در این واقعیت است که خواص در معرض انواع مختلف و چه نوع از اموال است هرگز همان به عنوان اقلام که به آن اشاره شده است.

بنابراین، حتی این سوال مطرح میشود که آیا اموال قابل اجرا به خود است. زبان منطقی، که جدا از عناصر چنین سلسله مراتب، با استفاده از تئوری انواع. هر چند که در حال حاضر توسط فرگه، اولین بار با استفاده از آن به طور کامل توضیح داده شده و راسل در پیوست "اصل" اثبات. تئوری انواع کامل تر از تمایز سطوح فرگه بود. او به اشتراک گذاشته خواص نه تنها انواع مختلف منطق، بلکه مجموعه ای است. نظریه نوع و حل تعارض در تناقض راسل زیر است.

به منظور یک فلسفی کافی، از تصویب تئوری نوع خواص نیاز به توسعه نظریه از ماهیت خواص به طوری که می تواند توضیح دهد که چرا آنها می توانند خود را اعمال نمی شود. در نگاه اول، آن را حس می برای به دست اموال خود را دارند. خواص وجود هویت، به نظر می رسد، آن را نیز یک هویت خود. اموال به نظر می رسد لذت بخش خوب است. در راه همان است، ظاهرا، به نظر می رسد نادرست که بگوییم اموال شدن یک گربه یک گربه است.

با این وجود، متفکران مختلف تقسیم انواع مختلف توجیه می شود. راسل حتی توضیحات مختلف در زمان های مختلف در زندگی حرفه ای خود را داد. به نوبه خود، منطق را برای جدایی از مفاهیم مختلف از سطح فرگه از نظریه خود را از مفاهیم غیر اشباع. مفاهیم به عنوان تابع، در اصل، ناقص است. به ارائه ارزش، آنها، نیاز به استدلال. شما نمی توانید فقط یک مفهوم می تواند برای به دست مفهوم از همان نوع، به دلیل آن هنوز هم نیاز به استدلال خود را. به عنوان مثال، اگر چه ممکن است به ریشه مربع از ریشه دوم یک عدد، شما می توانید نه تنها با استفاده از یک تابع ریشه دوم به تابع ریشه دوم و گرفتن یک نتیجه.

درباره خواص محافظه کاری

راه حل ممکن دیگر خواص تناقض خواص نفی وجود تحت هر شرایط داده می شود، و یا محمول به خوبی شکل گرفته است. البته، اگر کسی شانه خالی خواص متافیزیکی هر دو عناصر عینی و مستقل به عنوان یک کل، اگر ما را تناقض صوری تواند به طور کامل اجتناب شود.

با این حال، برای حل تناقض لازم نیست تا شدید. منطق سیستم مرتبه بالاتر توسعه یافته فرگه و راسل، شامل آنچه یک اصل مفهومی نامیده می شود، بر طبق آن هر فرمول باز صرفنظر از اینکه چگونه پیچیده به عنوان بخشی از یک ملک و یا مفهوم به عنوان مثال، تنها آن دسته از موارد که مطابقت فرمول وجود دارد. آنها به ویژگی های هر مجموعه ممکن از شرایط و یا محمولات، مهم نیست چقدر پیچیده آنها اعمال می شود.

با این وجود، آن را به خواص متافیزیک دقیق تر، دادن حق به وجود هدف از خواص ساده، از جمله، برای مثال، مانند رنگ قرمز، استحکام، مهربانی و غیره ممکن بود. D. شما حتی می توانید اجازه دهید این خواص به خود اعمال می شود، مانند مهربانی می نوعی باشد.

و وضعیت مشابه برای صفات پیچیده را می توان انکار کرد، برای مثال، از جمله "خواص" به عنوان داشتن هفده سر، شود، نوشته شده است تحت آب و مانند آن. D. در این مورد، هیچ شرایط از پیش تعیین شده می کند ملک برآورده نمی کنند، که به عنوان به طور جداگانه عنصر، که خواص خود را دارد موجود است. بنابراین می توان از وجود خواص ساده انکار شود، اموال، که غیر کاربردی به خود و جلوگیری از تناقض با استفاده از خواص متافیزیکی محافظه کارانه تر.

پارادوکس راسل: راه حل

در بالای آن ذکر شده بود که در پایان عمر خود فرگه کاملا منطق مجموعه رها شده است. این، البته، یک راه حل به تناقض در قالب مجموعه: انکار ساده از وجود عناصر مانند یک کل. علاوه بر این، گزینه های دیگر محبوب وجود دارد، اصول اولیه که در زیر نشان داده شده است.

نظریه برای بسیاری از انواع

همانطور که قبلا ذکر شد، راسل بازی برای یک نظریه کامل تر از انواع، که نه تنها خواص یا مفاهیم به انواع مختلف به اشتراک بگذارید، بلکه مجموعه ای. راسل در کثرت از واحد جداگانه مجموعه مشترک، تعداد زیادی از مجموعه ای از اشیاء جداگانه، و غیره مجموعه از اشیاء در نظر گرفته نمی شد، و کثرت از مجموعه - .. مجموعه. بسیاری از هرگز لذت نوع، شما اجازه می دهد به عنوان یک عضو از خود داشته باشد. بنابراین هیچ مجموعه ای از تمام مجموعه که عضو خود را وجود دارد، چرا که برای هر مجموعه ای از سوالات در مورد آن است که آیا به عنوان یک عضو است، به خودی خود یک نوع تخلف است. باز هم، مسئله این است برای توضیح مجموعه متافیزیک به توضیح مبانی فلسفی تقسیم به انواع.

چینه بندی

در سال 1937، V. V. Kuayn یک راه حل جایگزین پیشنهاد کرده است، در یک روش مشابه به نظریه انواع. اطلاعات عمومی در مورد آن است.

جدا مجموعه عنصر و دیگران است. ساخته شده به طوری که این فرض از پیدا کردن یک کثرت همیشه نادرست یا بی معنی است. مجموعه فقط می توانید در هنگام تعریف شرایط خود ارائه می شود یک نوع نقض نمی کند. بنابراین، برای کواین، بیان "X عضو x است" بیانیه معنی دار می کند از وجود مجموعه ای از تمام عناصر X رضایت بخش این شرایط حاکی از آن نیست است.

در این سیستم یک مجموعه برای برخی از فرمول A باز وجود دارد اگر و تنها اگر آن طبقه است، تی. E. اگر متغیرهای اعداد صحیح مثبت به طوری که برای هر یک از وقوع مشخصه از یک کثرت از قبل از آن متغیر تخصیص داده شده است واحد انتساب کوچکتر از متغیر اختصاص داده، زیر بعد از او. پارادوکس این بلوک راسل، از فرمول مورد استفاده برای تعیین مجموعه مشکل است، همان قبل و بعد از علامت عضویت متغیر و آن را unstratified وجود دارد.

اما هنوز به تعیین اینکه آیا سیستم حاصله که کواین به نام "مبانی جدید از منطق ریاضی" سازگار است.

رد

فرانکل (ZF) - یک رویکرد کاملا متفاوت است در نظریه زرملو گرفته شده است. در اینجا نیز، محدودیتی در وجود مجموعه تنظیم شده است. در عوض، رویکرد "بالا به پایین" راسل و فرگه، که در ابتدا فکر می کردم که برای تمام مفاهیم، خواص، و یا شرایط ممکن است از وجود مجموعه ای از همه چیز با این ویژگی نشان و یا برای دیدار چنین شرایطی، در ZF-نظریه، همه چیز شروع می شود "از پایین به بالا."

عناصر منحصر به فرد مجموعه تهی و مجموعه ای را تشکیل دهند. بنابراین، بر خلاف سیستم های قبلی و راسل فرگه FIT به مجموعه جهانی که شامل تمام عناصر و حتی تمام مجموعه تعلق ندارند. ZF مجموعه محدودیت های شدید بر وجود مجموعه. تنها ممکن است وجود داشته کسانی که برای آن است که به وضوح فرض یا که ممکن است با استفاده از فرآیندهای تکراری و مانند آن فرموله شده است. D.

سپس، به جای مفهوم انتزاع تنظیم ساده که می گوید یک عنصر خاص در مجموعه گنجانده شده است اگر و تنها اگر آن را مطابق شرایط در اصل جدایی استفاده DF، جدایی یا "sorting". به جای فرض وجود مجموعه ای از تمام عناصر که بدون استثنا برآورده یک شرایط خاص، برای هر مجموعه موجود Aussonderung نشان می دهد وجود یک زیر مجموعه از همه عناصر در مجموعه اصلی که شرط.

سپس می آید اصل انتزاع: اگر مجموعه A وجود دارد، پس از آن، برای هر x در A، X متعلق به زیر مجموعه ی A، که شرط اگر و تنها اگر x را ارضا C. وضعیت این رویکرد برطرف پارادوکس راسل، از سال ما نمی توانیم به سادگی فرض که شده است، مجموعه ای از تمام مجموعههایی را که عضو خودشان نیستند.

داشتن تعداد زیادی از مجموعه، شما می توانید انتخاب کنید و یا تقسیم آن به مجموعه، که در خود هستند، و کسانی که چنین نیست، اما از آنجا که هیچ مجموعه جهانی وجود دارد ما مجموعه ای از تمام مجموعه محدود نیست. بدون فرض مجموعه مسائل تناقض راسل نمیتواند اثبات شود.

راه حل های دیگر

علاوه بر این، وجود داشته پسوند های بعدی و یا تغییرات از این راه حل، از جمله به عنوان یک نظریه چنگال نوع "اصول ریاضیات" گسترش سیستم "منطق ریاضی" کواین، و همچنین تحولات اخیر در نظریه مجموعه ها بوده است، ساخته شده برنیز، گودل و فون نویمان. این سوال که آیا در پاسخ به تناقض نامحلول برتراند راسل پیدا شده است، هنوز هم موضوع بحث.