اعداد حقیقی و خواص آنها

فیثاغورس ادعا کرد که تعداد پایه و اساس جهان در تاریخ همتراز با عناصر اصلی است. افلاطون معتقد بود که تعداد لینک های این پدیده و نومن، کمک به مطمئن شوید، به وزن و به نتیجه گیری. حسابی می آید از کلمه "arifmos" - تعداد، نقطه شروع در ریاضیات. ممکن است که به توصیف هر شی - از ابتدایی به فضاهای انتزاعی سیب.

نیاز به عنوان عامل توسعه

در مراحل اولیه توسعه جامعه نیازهای مردم محدود توسط نیاز به نگه داشتن نمره - .. یک کیسه دانه، دو کیسه دانه، و غیره برای انجام این کار، آن را اعداد طبیعی، مجموعه ای از که دنباله نامتناهی از اعداد صحیح N. مثبت است

پس از آن، توسعه ریاضیات به عنوان یک علم، آن را در یک رشته خاص از اعداد صحیح Z لازم بود - آن را شامل مقادیر منفی و صفر. ظاهر خود را در سطح داخلی، آن را با این واقعیت است که حسابداری اولیه به حال به نوعی رفع بدهی و زیان برانگیخته شد. در سطح علمی، اعداد منفی را ساخته اند آن ممکن است برای حل ساده معادلات خطی. در میان چیزهای دیگر، آن است که در حال حاضر امکان تصویر یک سیستم بی اهمیت هماهنگی، به عنوان مثال. A. بود یک نقطه مرجع وجود دارد.

گام بعدی نیاز به ورود به اعداد کسری بود، از علم در جا نمی زند، بیشتر و بیشتر اکتشافات جدید برای رشد فشار جدید خواستار یک مبنای نظری. بنابراین زمینه وجود دارد از اعداد گویا Q.

در نهایت، دیگر دیدار با خواسته های عقلانیت، چرا که همه یافته های جدید نیاز به توجیه است. بود رشته ای از اعداد R واقعی، آثار قیاس ناپذیری اقلیدس از مقادیر خاص و به دلیل از بی خردی خود وجود دارد. این است که، ریاضیدان یونان باستان نه تنها تعداد به عنوان یک ثابت می چرخاند، اما به عنوان یک ارزش انتزاعی است که توسط نسبت قدر قیاس ناپذیر است. توجه به این واقعیت که تعداد واقعی وجود دارد، ارزش ها مانند "پی" و "E"، که بدون آن ریاضیات مدرن می تواند انجام نمی شد "ما نور را دیدم".

نوآوری نهایی یک عدد مختلط C. این پاسخ یک سری سوالات و اصول موضوعه قبلا وارد شده را رد کرد. با توجه به توسعه سریع نتیجه جبر قابل پیش بینی بود - با اعداد حقیقی، تصمیم بسیاری از مشکلات امکان پذیر نیست. به عنوان مثال، با تشکر از اعداد مختلط ایستاده نظریه ریسمان و هرج و مرج گسترش معادلات هیدرودینامیک.

تنظیم تئوری. اواز خوان مذهبی

مفهوم بینهایت همواره باعث جنجال، به عنوان آن را غیر ممکن بود برای اثبات یا رد. در زمینه ریاضیات، که عمل اصول موضوعه به شدت تایید، آن را خود را آشکار ترین بدیهی است، بیشتر است که جنبه دینی هنوز هم در علم وزن داشت.

با این حال، از طریق کار ریاضیدان گئورگ کانتور همه زمان سقوط را به محل. او ثابت کرد که مجموعه های بینهایت است یک مجموعه نامتناهی وجود دارد، و R زمینه بیشتر از زمینه N است، اجازه دهید هر دو آنها و پایانی ندارد. در اواسط قرن نوزدهم، ایده های خود را به نام عمومی مزخرف و جنایت علیه قواعد تغییرناپذیر کلاسیک، اما زمان همه چیز را در جای خود قرار داده.

خواص عمومی R زمینه

تعداد واقعی نه تنها همان خواص podmozhestva که آنها عبارتند از داشته باشد، اما توسط دیگر masshabnosti به موجب عناصر آن تکمیل:

• صفر R. وجود دارد و متعلق به میدان C + = C 0 برای هر ج از رضا
• صفر وجود دارد و متعلق به رضا درست C X 0 = 0 برای هر ج از رضا
• نسبت C: D وقتی د ≠ 0 وجود دارد و برای هر ج معتبر است، د از رضا
• درست R دستور داد، به عنوان مثال اگر c ≤ D، D ≤ C، پس از آن C = D برای هر ج، د از رضا
• علاوه بر این در زمینه R جابجایی پذیر است، به عنوان مثال C + D = D + C، برای هر ج، د از رضا
• ضرب در زمینه R جابجایی پذیر است، به عنوان مثال X C X د = پ برای همه ج، د از رضا
• علاوه بر این در زمینه R انجمنی به عنوان مثال (C + D) + F = C + (D + F) برای هر ج، د است، f از رضا
• ضرب در زمینه R انجمنی است به عنوان مثال (C X د) X F = C X (د X F) برای هر C، D، F از رضا
• برای هر عدد از مقابل میدان R به آن وجود دارد، به طوری که ج + (-c) = 0 که در آن c، -c از R.
• برای هر عدد میدان R معکوس آن، وجود دارد به طوری که C X ج ^-1 = 1 که در آن C، C ^-1 از رضا
• واحد وجود دارد و متعلق به R، به طوری که ج * 1 = C، برای هر ج از رضا
• از آن است که توزیع قدرت قانون، به طوری که C X (D + F) = C X D + C X F، برای هر C، D، F از رضا
• زمینه R صفر است مساوی است.
• درست R متعدی است: اگر c ≤ D، D ≤ f را، آنگاه c ≤ f برای هر C، D، F از رضا
• در R و علاوه بر این به منظور به هم پیوسته: اگر c ≤ د، و سپس C + F ≤ D + F برای همه C، D، F از رضا
• به ترتیب از R و ضرب مرتبط: اگر 0 ≤ C، 0 ≤ د، و سپس 0 ≤ C X د برای هر ج، د از رضا
• به عنوان اعداد مثبت و منفی واقعی دائم هستند به عنوان مثال، برای هر ج، د از R F، از R، که ج ≤ ≤ f را د وجود دارد وجود دارد.

درست ماژول R

اعداد حقیقی را شامل چنین چیزی به عنوان یک ماژول است. آن را به عنوان تعیین شده | F | برای هر f در R. | F | = F، اگر 0 ≤ f و | F | = -f، اگر 0> F. اگر ما ماژول به عنوان یک ارزش هندسی در نظر بگیریم، آن را به یک فاصله است - مهم نیست، شما به عنوان صفر در منفی به مثبت یا رو به جلو "گذشت".

اعداد مختلط و واقعی است. شباهت ها و تفاوت ها چه هستند؟

توسط و اعداد بزرگ، پیچیده و واقعی - آنها یکی است و همان، به جز که اولین واحد موهومی پیوست من، مربع که به -1 برابر است. عناصر زمینه R و C را می توان با فرمول زیر نشان داده شود:

• C = D + F X من، در جایی که د، ج متعلق به R زمینه، و من - واحد موهومی.

برای به دست آوردن ج از R f در این مورد به سادگی تصور می شود صفر، به عنوان مثال، تنها بخشی واقعی از تعداد وجود دارد. از آنجا که رشته ای از اعداد مجموعه دارای ویژگی های همان مجموعه ای به عنوان زمینه واقعی، F X = 0 اگر f = 0.

با توجه تفاوت عملی، برای مثال در زمینه R معادله درجه دوم نمی توان حل کرد اگر تفکیک منفی است، در حالی که جعبه C می کند این محدودیت با معرفی واحد موهومی من تحمیل نمی کند.

نتایج

"آجر" بدیهیات و ادعا که در آن به ریاضیات پایه، تغییر نمی کنند. در برخی از آنها به دلیل افزایش اطلاعات و معرفی نظریه های جدید "آجر" زیر، که در آینده ممکن است تبدیل به مبنایی برای گام های بعدی قرار گرفته است. به عنوان مثال، اعداد طبیعی، با وجود این واقعیت که آنها یک زیر مجموعه از R درست واقعی باشند، آیا ارتباط آن از دست دادن نیست. آن را به آنها است که اساس همه ریاضی ابتدایی، که با آگاهی از یک مرد صلح آغاز می شود.

از نقطه نظر عملی، اعداد حقیقی مثل یک خط راست است. ممکن است که به انتخاب یک جهت، برای شناسایی منشاء و زمین. مستقیم شامل یک تعداد نامحدود از نقاط، که هر کدام مربوط به یک عدد حقیقی تنها، بدون در نظر گرفتن یا نه منطقی. از توضیحات روشن است که ما صحبت در مورد مفهوم است که ریاضیات در کل بر اساس، و تجزیه و تحلیل ریاضی به طور خاص.