نامحدود انتگرال. محاسبه انتگرال نامعین

یکی از بخش های اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی حساب انتگرال است. این بخش شامل یک رشته بسیار گسترده ای از اشیاء، که در آن برای اولین بار - آن است که نامحدود انتگرال. موقعیت آن می ایستد به عنوان یک کلید است که هنوز در دبیرستان تعداد فزاینده ای از چشم انداز و فرصت، که ریاضیات عالی توصیف نشان می دهد.

ظاهر

در نگاه اول، به نظر می رسد کاملا به مدرن، موضعی انتگرال، اما در عمل آن می رسد که او در 1800 آمد قبل از میلاد. صفحه اصلی به طور رسمی مصر در نظر گرفته به عنوان به ما شواهد زودتر از وجود آن نمی رسند. این به دلیل عدم وجود اطلاعات، در حالی که همه به سادگی به عنوان یک پدیده را می چرخاند. او یک بار دیگر به سطح توسعه علمی از مردم از آن زمان تایید می کند. در نهایت، کار پیدا شد ریاضی دانان یونان باستان، قدمت از قرن قبل از میلاد 4. آنها روش مورد استفاده که در آن نامحدود انتگرال، جوهر است که برای پیدا کردن حجم و یا مساحت یک شکل منحنی (سه بعدی و دو بعدی هواپیما بود) توصیف می کنند. محاسبه بر اصل تقسیم به شکل اصلی به اجزای بینهایت کوچک بود، به شرطی که حجم (منطقه) در حال حاضر به آنها شناخته شده است. با گذشت زمان، روش رشد کرده است، ارشمیدس آن استفاده می شود برای پیدا کردن مساحت یک مخروط. محاسبات مشابه در همان زمان برای انجام تمرینات در چین باستان، جایی که آنها به طور کامل مستقل از علم همکار یونانی بودند.

توسعه

شکافت بعدی در قرن یازدهم قبل از میلاد تبدیل شده است کار از محققان عرب "واگن" ابو علی البصری، که از مرزهای تحت فشار قرار دادند حال حاضر شناخته شده، از فرمول انتگرال برای محاسبه مبالغ از مقدار و درجه از اول تا چهارم، استفاده از این شناخته شده به ما به دست آمد روش القاء.
ذهن امروز تحسین توسط مصریان باستان آثار تاریخی شگفت انگیز بدون هیچ گونه ابزار خاص ایجاد شده، به جز که دست خود است، اما یک قدرت دانشمندان دیوانه از زمان کمتر از یک معجزه نیست؟ در مقایسه با زمان فعلی از زندگی خود را به نظر می رسد تقریبا بدوی، اما تصمیم انتگرال نامعین در همه جا استنباط و در عمل برای توسعه بیشتر استفاده می شود.

گام بعدی در قرن شانزدهم و جو در زمان، زمانی که ریاضیدان ایتالیایی کاوالیری روش تقسیم، که برداشت آورده پستها در طول ها Ferma. این دو شخصیت پایه و اساس حساب انتگرال مدرن است، که در حال حاضر شناخته شده گذاشته شد. آنها مفاهیم تمایز و یکپارچگی، که قبلا به عنوان واحد خود شامل مشاهده شد گره خورده است. و توسط بزرگ، ریاضیات آن زمان ذرات پراکنده یافته توسط خود وجود داشته باشد، با استفاده محدود بود. راه را به اتحاد و یافتن زمینه های مشترک در حال حاضر تنها درست بود، به لطف او، مدرن تجزیه و تحلیل ریاضی این فرصت را به رشد و توسعه داشته است.

با گذشت زمان همه چیز و نماد جدایی ناپذیر و همچنین تغییر می دهد. با و بزرگ، آن را دانشمندان که در راه خود، به عنوان مثال، نیوتن استفاده می شود یک آیکون مربع، که قرار دادن یک انتگرال، و یا به سادگی با هم قرار داده شده بود. این اختلاف تا قرن هفدهم، هنگامی که یک نقطه عطفی برای کل نظریه Gotfrid Leybnits دانشمند تجزیه و تحلیل ریاضی معرفی چنین یک شخصیت آشنا برای ما به طول انجامید. بلند "S" است که در واقع در این نامه بر اساس الفبای رومی، از نشان دهنده مجموع شکلهای هندسی اولیه. نام جدایی ناپذیر لطف به دست آمده به یاکوب برنولی، پس از 15 سال.

تعریف رسمی

انتگرال نامعین بستگی به تعریف از بدوی، بنابراین ما آن را در وهله اول در نظر بگیرید.

نامعین - تابع معکوس از مشتق، در عمل از آن است بدوی نامیده می شود. در غیر این صورت: تابع اولیه د - یک تابع D است که مشتق V <=> V '= V است. جستجو بدوی است برای محاسبه نامحدود انتگرال، و روند خود را به نام ادغام.

به عنوان مثال:

تابع بازدید کنندگان (Y) = y و ^{3 و} S آن ابتدایی (Y) = (Y ^4/4).

مجموعه ای از تمام شکلهای هندسی اولیه از تابع - این یک جدایی ناپذیر نامحدود است، آن را نشان داده شرح زیر است: ∫v (X) DX.

به موجب این واقعیت است که V (X) - تنها برخی تابع اصلی بدوی، بیان نگه می دارد: ∫v (X) DX = V (X) + C، که در آن C - ثابت است. بر اساس ثابت اختیاری اشاره به هر گونه ثابت، از مشتق شده از آن صفر است.

خواص

خواص برخوردار شده توسط نامحدود انتگرال، اساسا در تعریف و خواص مشتقات است.
نکات کلیدی در نظر بگیرید:

• مشتق جدایی ناپذیر از بدوی بدوی خود را به علاوه یک خودسرانه ثابت C <=> ∫V است »(X) DX = V (X) + C؛
• مشتق انتگرال یک تابع تابع اصلی <=> (∫v (X) DX) است = V (X)؛
• ثابت را از زیر انتگرال <=> ∫kv (x) را گرفته DX = k∫v (X) dx، که در آن k - کاملا خودسرانه است.
• جدایی ناپذیر است، که از حاصل جمع عینا برابر با مجموع انتگرال <=> ∫ (V (Y) + W (Y)) DY = ∫v (Y) DY + ∫w (Y) DY گرفته شده است.

دو ویژگی گذشته را می توان نتیجه گرفت که انتگرال نامعین خطی است. با توجه به این، ما باید: ∫ (KV (Y) DY + ∫ LW (Y)) DY = k∫v (Y) DY + l∫w (Y) DY.

برای دیدن نمونه هایی از تثبیت راه حل انتگرال نامعین.

شما باید ∫ انتگرال (3sinx + 4cosx) DX را پیدا کنید:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

از مثال میتوان نتیجه گرفت که شما نمی دانید که چگونه به حل انتگرال نامعین؟ فقط تمام شکلهای هندسی اولیه را پیدا کنید! اما جستجو برای اصول زیر مورد بحث.

مواد و روش ها و نمونه

به منظور حل انتگرال، شما می توانید به روش های زیر متوسل:

• آماده به استفاده از جدول؛
• انتگرالگیری جزء به جزء.
• یکپارچه با جایگزین کردن متغیر؛
• جمعبندی زیر نشانه ای از دیفرانسیل.

جداول

ساده ترین و لذت بخش است. در حال حاضر، تجزیه و تحلیل ریاضی می توانید جداول بسیار گسترده است، که املای فرمول اساسی انتگرال نامعین به رخ کشیدن. به عبارت دیگر، می قالب به شما مشتق شده وجود دارد و شما تنها می توانید امکان استفاده از آنها. در اینجا لیستی از موقعیت های جدول اصلی، که می تواند نمایش داده تقریبا هر مثال، یک راه حل:

• ∫0dy = C، که در آن C - ثابت.
• ∫dy = Y + C، که در آن C - ثابت.
• ∫y ^N DY = (Y ^{N + 1)} / (N + 1) + C، که در آن C - ثابت و n - شماره های مختلف از وحدت؛
• ∫ (1 / Y) DY = LN | Y | + C، که در آن C - ثابت.
• ^{∫e Y DY = E Y + C} ، که در آن C - ثابت.
• ^{∫k Y DY = (K Y /} LN K) + C، که در آن C - ثابت.
• ∫cosydy = siny + C، که در آن C - ثابت.
• ∫sinydy = -cosy + C، که در آن C - ثابت.
• ∫dy / چون ² Y = TGY + C، که در آن C - ثابت.
• ∫dy / گناه ² Y = -ctgy + C، که در آن C - ثابت.
• ∫dy / (1 + Y ²⁾ = arctgy + C، که در آن C - ثابت.
• ∫chydy = خجالتی + C، که در آن C - ثابت.
• ∫shydy = CHY + C، که در آن C - ثابت است.

اگر لازم باشد، یک زن و شوهر از مراحل منجر انتگرال به یک جدولی مشاهده و لذت بردن از پیروزی. مثال: ∫cos (5x به -2) DX = 1 / 5∫cos (5X - 2) د (5X - 2) = 1/5 X گناه (5X - 2) + C.

با توجه به تصمیم روشن است که برای مثال یک انتگرال جدول فاقد چند برابر 5. ما آن را با 1/5 به بیان کلی اضافه به موازات این ضرب را تغییر دهید.

ادغام توسط قطعات

Z (Y) و x (y) را - دو تابع در نظر بگیرید. آنها باید به طور مداوم در حوزه خود مشتقپذیر باشد. در یکی از خواص تمایز ما: D (XZ) = xdz + ZDX. یکپارچه سازی هر دو طرف، ما را دریافت کنید: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

بازنویسی معادله نتیجه، ما از فرمول، که از روش ادغام توسط قطعات توصیف: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

چرا لازم است؟ واقعیت این است که برخی از نمونه های آن را ممکن است برای ساده است، اجازه دهید بگویم، به منظور کاهش ∫xdz ∫zdx، اگر دومی نزدیک به صورت جدولی است. همچنین، این فرمول را می توان برای نتایج مطلوب استفاده بیش از یک بار.

چگونه برای حل انتگرال نامعین در این راه:

• لازم برای محاسبه ∫ (بازدید کنندگان + 1) الکترونیکی ^2S DS

∫ (X + ^{1) الکترونیکی 2S DS = {Z =} S + 1، DZ = DS و y = 1 ^{/ 2E 2S، DY = E 2X} DS} = ((بازدید کنندگان + 1) الکترونیکی ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S DX = ((بازدید کنندگان + 1) ^{2S ه)} / 2-E ^2S / 4 + C؛

• باید ∫lnsds محاسبه

∫lnsds = {Z = LNS، DZ = DS / S، Y = S، DY = DS} = slns - ∫s X DS / S = slns - ∫ds = slns -s + C = S (LNS-1) + C.

جایگزینی متغیر

این اصل از حل انتگرال نامعین هستند تقاضا از دو مورد قبلی، نه کمتر، هر چند پیچیده است. این روش به صورت زیر است: اجازه دهید V (X) - انتگرال برخی از عملکرد V (X) است. در صورتی که در خود جدایی ناپذیر در مثال slozhnosochinenny می آید، به احتمال زیاد به اشتباه گرفته و به پایین راه حل مسیر اشتباه. برای جلوگیری از این تغییر و تمرین از متغیر x به Z، که در آن ابراز کلی بصری ساده شده در حالی که حفظ Z وابسته به x.

به زبان ریاضی، این است شرح زیر است: ∫v (X) = DX ∫v (Y (Z)) y "را (Z) DZ = V (Z) = V (Y -1 (x) را)، که در آن x = y بر ( Z) - تعویض. و، البته، تابع معکوس Z = Y ^-1 (x) را به طور کامل رابطه و رابطه متغیرهای توصیف می کند. نکته مهم - DX دیفرانسیل لزوما با DZ دیفرانسیل جدید جایگزین، پس از تغییر متغیر در انتگرال نامعین شامل جایگزین کردن آن در همه جا، نه فقط در انتگرال.

به عنوان مثال:

• DS - باید ∫ (بازدید کنندگان + 1) / (5 ² + 2S بازدید کنندگان) پیدا

درخواست Z جانشینی = (بازدید کنندگان + 1) / (بازدید کنندگان ² + 2S-5). سپس DZ = 2sds = 2 + 2 (بازدید کنندگان + 1) DS <=> (بازدید کنندگان + 1) DS = DZ / 2 است. در نتیجه، عبارت زیر را، که بسیار آسان برای محاسبه:

∫ (بازدید کنندگان + 1) / (بازدید کنندگان ² + 2S-5) DS = ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2LN | Z | + C = 1 / 2LN | بازدید کنندگان ² + 2S-5 | + C؛

• شما باید در پیدا انتگرال ∫2 ^S E ^S DX

برای حل این بازنویسی در فرم زیر:

^{∫2 بازدید کنندگان E S DS = ∫ (} 2E) بازدید کنندگان DS.

ما توسط یک = 2E معنی (جایگزینی استدلال این مرحله است که نه، آن است که هنوز هم بازدید کنندگان)، ما به ما به ظاهر پیچیده انتگرال به صورت جدولی پایه:

^{∫ (2E) بازدید کنندگان DS = ∫a} بازدید کنندگان DS = یک S / LNA + C = (2E) S / LN (2E) + C = 2 ^S E ^S / LN (2 + LNE) + C = 2 ^S E ^S / (LN2 + 1) + C.

جمعبندی نشانه دیفرانسیل

با و بزرگ، این روش انتگرال نامعین - برادر دوقلو از اصل تغییر متغیر، اما تفاوت در روند ثبت نام وجود دارد. اجازه دهید ما در جزئیات بیشتری در نظر بگیرید.

اگر ∫v (X) DX = V (X) + C و y = z را (X)، سپس ∫v (Y) DY = V (Y) + C.

در همان زمان ما باید تحولات بی اهمیت انتگرال، در میان است که فراموش نکنید:

• DX = D (X + A)، و در جایی - هر ثابت.
• DX = (1 / الف) د (تبر + B)، که در آن یک - ثابت دوباره، اما صفر نیست.
• XDX = 1 / 2D (× ² + ب)؛
• sinxdx = -d (cosx)؛
• cosxdx = D (sinx).

اگر ما در حالت کلی که در آن ما محاسبه نامحدود جدایی ناپذیر در نظر بگیریم، نمونه را می توان تحت فرمول کلی W '(x) را DX = DW (X) قرار می گیرند.

مثال:

• باید در پیدا کردن ∫ (2S + 3) ² DS، DS = 1 / 2D (2S + 3)

∫ (2S + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2S + 3) ² D (2S + 3) = (1/2) × ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) X (2S + 3) ² + C؛

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss زمان) / Coss زمان = -ln | Coss زمان | + C.

کمک آنلاین

در برخی موارد، گسل که می تواند تبدیل به یا تنبلی یا نیاز فوری، شما می توانید دهید آنلاین استفاده کنید، یا نه، به استفاده از یک ماشین حساب انتگرال نامعین. با وجود پیچیدگی ظاهری و ماهیت بحث انگیز انتگرال، تصمیم به الگوریتم خاص خود را دارند، که در اصل "اگر شما نمی ... سپس ..." بر اساس است.

البته، یک نمونه های پیچیده از جمله یک ماشین حساب نخواهد استاد، به عنوان موارد که در آن یک تصمیم برای پیدا کردن یک مصنوعی "مجبور" با معرفی عناصر خاص در این فرآیند وجود دارد، چرا که نتایج راه آشکار برای رسیدن به. با وجود ماهیت بحث انگیز این بیانیه، درست است، به عنوان ریاضیات، در اصل، یک علم انتزاعی، و هدف اصلی آن نیاز به تقویت مرزهای نظر می گیرد. در واقع، برای صاف اجرا در تئوریهای بسیار دشوار است به حرکت بالا و تکامل، بنابراین فکر نکنید که نمونه هایی از حل انتگرال نامعین، که به ما داد - این ارتفاع از فرصت است. اما به سمت فنی از همه چیز. حداقل برای بررسی محاسبات، شما می توانید خدمات که در آن آن را به ما نوشته شده بود استفاده کنید. در صورتی که نیاز به محاسبه خودکار از عبارات پیچیده وجود دارد، پس آنها مجبور به توسل به یک نرم افزار جدی تر است. باید توجه در درجه اول در محیط مطلب پرداخت.

کاربرد

تصمیم انتگرال نامعین در نگاه اول به نظر می رسد به طور کامل از واقعیت جدا شده، چرا که آن را دشوار است برای دیدن استفاده آشکار هواپیما. در واقع، به طور مستقیم از آنها استفاده کنید در هر نقطه که شما می توانید، اما آنها یک عنصر میانی لازم در روند خروج از راه حل های مورد استفاده در عمل است. بنابراین، ادغام تمایز تماس، به طور فعال در فرایند حل معادلات شرکت کننده است.
به نوبه خود، این معادلات تاثیر مستقیم در تصمیم گیری از مشکلات مکانیکی، محاسبه مسیر و هدایت حرارتی - در کوتاه مدت، هر آنچه را که به منزله حال و شکل دادن به آینده. نمونه نامحدود انتگرال، که ما را در بالا در نظر گرفته، تنها در نگاه اول بی اهمیت، به عنوان یک پایه برای انجام بیشتر و بیشتر اکتشافات جدید.