سری فوریه: تاریخ و نفوذ از مکانیسم ریاضی برای توسعه علم

سری فوریه - این دیدگاه به صورت خودسرانه توابع به دوره در یک ردیف انتخاب شده است. به طور کلی، این راه حل است عنصر گسترش بر اساس متعامد نامیده می شود. گسترش توابع در سری فوریه کاملا یک ابزار قدرتمند برای حل مسائل مختلف با توجه به خواص تحول در ادغام، تمایز، و همچنین به عنوان یک تغییر در بیان استدلال و پیچیدگی است.

کسی که با ریاضیات عالی آشنا، و همچنین با آثار فوریه دانشمند فرانسوی، به احتمال زیاد خواهد آنچه را که "رتبه" و آنچه را که درک نمی کنند. با این حال این تحول است که کاملا محکم زندگی ما وارد شده است. این است که نه تنها ریاضیات، بلکه فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و دیگران استفاده می شود. اجازه دهید ما نیز به بررسی دقیق تر با آثار دانشمند بزرگ فرانسوی که این کشف را، از زمان خود جلوتر است.

مرد و تبدیل فوریه

سری فوریه یکی از روش های (همراه با تجزیه و تحلیل و دیگران) است از تبدیل فوریه. این عمل هر بار که یک فرد می شنود هر صدا. گوش ما به طور خودکار تبدیل امواج صوتی را. جنبش نوسانی ذرات بنیادی در یک محیط الاستیک در سری (طیف) ارزش حجم های پی در پی برای زنگ از ارتفاع های مختلف گسترش یافته است. در مرحله بعد، مغز این داده ها را به صداهای آشنا را برای ما تبدیل می کند. همه این است که علاوه بر میل و یا آگاهی خود ما است، اما به منظور درک فرآیندهای است که چندین سال طول بکشد به مطالعه ریاضیات عالی.

اطلاعات بیشتر در مورد تبدیل فوریه

تبدیل فوریه می تواند باشد که تحلیلی، اعداد و روش های دیگر انجام شده است. سری فوریه هستند فرآیند اعداد برای تجزیه هر فرآیندهای نوسانی - از جزر و مد اقیانوس ها و امواج نور را به چرخه های خورشیدی (و دیگر اجرام آسمانی) فعالیت. با استفاده از این تکنیک های ریاضی، ممکن است به پیاده کردن تابع، به نمایندگی از هر فرآیندهای نوسانی در تعدادی از قطعات سینوسی که از حداقل به حداکثر رفتن و بالعکس. تبدیل فوریه یک تابع توصیف دامنه و فاز سینوسی مربوط به یک فرکانس خاص است. این فرایند را می توان برای حل یک معادله بسیار پیچیده که فرایندهای پویا تحت عمل گرما، نور و یا انرژی الکتریکی رخ توصیف استفاده می شود. همچنین، سری فوریه مورد استفاده برای تشخیص اجزای DC در شکل موج پیچیده، این امکان مشاهدات تجربی در پزشکی، شیمی و نجوم به درستی تفسیر ساخت.

اطلاعات تاریخی

پدر و بنیانگذار این نظریه ریاضیدان فرانسوی ژان Batist Zhozef Fure است. نام او بعد از آن و این تحول خوانده شده است. در ابتدا، دانشمندان استفاده از یک تکنیک به مطالعه و توضیح سازوکار هدایت حرارتی - انتشار حرارت در جامدات. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه از موج حرارتی را می توان به سینوسی ساده، که هر یک از آن حداقل دما و حداکثر، و همچنین به عنوان فاز خود را داشته تجزیه می شود. بنابراین هر یک از این مولفه از حداقل به حداکثر و بالعکس اندازه گیری می شود. تابع ریاضی است که قله های بالایی و پایینی منحنی توصیف، و همچنین به عنوان فاز از هر هارمونیک، به نام تبدیل فوریه توزیع دما از بیان است. نویسنده از نظریه کاهش عملکرد توزیع کلی است که به سختی توصیف ریاضی، بسیار آسان که مسئولیت رسیدگی به تعداد از توابع تناوبی سینوس و کسینوس، در مقدار دادن توزیع اولیه.

اصل تبدیل و نمایش از معاصران

معاصران از دانشمند - ریاضیدانان پیشرو در اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را قبول نمی کند. اعتراض اصلی تصویب فوریه که تابع ناپیوسته توصیف یک خط مستقیم یا منحنی پاره شده بود، می توان آن را به عنوان یک مجموع از عبارات سینوسی که مداوم هستند، بیان کرد. به عنوان مثال، در نظر گرفتن یک "گام" هویساید: ارزش خود را صفر در سمت چپ شکاف و یکی در سمت راست است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی بر متغیر زمان برای زنجیره بسته شدن توصیف می کند. نظریه معاصر که در آن زمان، هرگز چنین وضعیت، زمانی که یک عبارت ناپیوسته خواهد بود که توسط ترکیبی از مستمر، توابع معمول، مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دو توصیف مواجه شده بود.

ریاضیدانان فرانسوی در نظریه فوریه چه ناراحت؟

پس از همه، اگر یک ریاضیدان راست به استدلال می کنند، پس از آن، جمع یک سری فوریه مثلثاتی بی نهایت، ممکن است برای به دست آوردن یک بازنمایی صحیح از مرحله بیان، حتی اگر آن را مجموعه ای از مراحل مشابه است. در اوایل قرن نوزدهم، این بیانیه پوچ به نظر می رسید. اما با وجود همه شک و تردید، بسیاری از ریاضی دانان از محدوده مطالعه این پدیده گسترش یافته اند، در حال حرکت آن را فراتر از مطالعات انتقال حرارتی. با این حال، بسیاری از دانشمندان همچنان به رنج می برند به این سوال: "آیا می توانم از مجموع سری موج سینوسی همگرا به مقدار دقیق از یک تابع ناپیوسته"

همگرایی سری فوریه: به عنوان مثال

موضوع همگرایی هر زمان شما نیاز جمع یک سری نامتناهی از اعداد بالا می رود. نظر یک مثال کلاسیک برای درک این پدیده است. آیا می توانید همیشه به دیوار برسد، اگر هر مرحله نیمی از قبلی است؟ فرض کنید شما دو متر از هدف هستند، اولین گام برای نزدیک تر اطراف نیمی از راه را، بعدی - علامت از یک سه چهارم، و بعد از پنجمین، شما تقریبا 97 درصد راه را غلبه بر. با این حال، مهم نیست که چگونه بسیاری از مراحل شما انجام داده ام نه، هدف در نظر گرفته شده شما را در یک معنای دقیق ریاضی برسد. با استفاده از محاسبات عددی، ما می توانیم در پایان ثابت کند که ممکن است به یک فاصله دلخواه کوچک داده نزدیک تر است. این معادل به اثبات نشان می دهد که ارزش کل یک دوم، یک چهارم، و غیره. E. خواهد به وحدت تمایل است.

موضوع همگرایی: از آمدن دوم، و یا ابزار لرد کلوین

بارها و بارها این سوال به وجود آمد در اواخر قرن نوزدهم، زمانی که سری فوریه تلاش کرده اند به استفاده از برای پیش بینی شدت فراز و فرود. در آن زمان، لرد کلوین اختراع شد دستگاه کامپیوتر آنالوگ که اجازه ملوانان نیروی دریایی و مانیتور دریایی تجاری یک پدیده طبیعی است. این مکانیزم تعریف شده مجموعه ای از مراحل و دامنه از ارتفاع جدول جزر و مد و لحظات زمان مربوطه، به دقت در بندر در طول سال اندازه گیری شد. هر پارامتر یک سینوسی ارتفاعات بیان جزء جزر و مد است و یکی از اجزای منظم بود. نتایج اندازه گیری ورودی به دستگاه رایانه لرد کلوین، سنتز منحنی که ارتفاع آب به عنوان تابعی از سال بعد پیش بینی کرد. خیلی زود، این منحنی برای تمام بنادر جهان کشیده شد.

و اگر این روند شکسته خواهد شد تابع ناپیوسته؟

در آن زمان، آشکار است که دستگاه پیش بینی موج جزر و مدی، با بسیاری از عناصر به حساب می تواند تعداد زیادی از مراحل و دامنه محاسبه، و غیره ارائه پیش بینی دقیق تر به نظر می رسید. با این وجود، معلوم شد که این الگو در مواردی که بیان جزر و مدی سنتز خواهد شد، حاوی یک جهش ناگهانی، است که، ناپیوسته هستند مشاهده نشد. در صورتی که دستگاه را وارد کنید اطلاعات از یک جدول از زمان های، آن را محاسبه ضرایب فوریه چند. بهبود عملکرد اصلی به دلیل جزء سینوسی (با توجه به ضرایب پیدا شده است). اختلاف بین اصلی و بیان بازسازی می توان در هر نقطه اندازه گیری. هنگامی که محاسبات تکرار و مقایسه دیده می شود که ارزش از بزرگترین خطا کاهش می یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه پارگی موضعی، و هر نقطه دیگر تمایل به صفر است. در سال 1899، این نتیجه به لحاظ نظری جاشوا ویلارد گیبس از دانشگاه ییل تایید شد.

همگرایی سری فوریه و توسعه ریاضیات به عنوان یک کل

تجزیه و تحلیل فوریه به عبارت حاوی یک تعداد نامحدود از انفجار در یک فاصله زمانی اعمال نشود. در سری فوریه به طور کلی، اگر تابع اصلی است که در نتیجه اندازه گیری های فیزیکی واقعی نشان داده، همیشه همگرا. سوالات همگرایی این روند برای طبقات خاصی از توابع به شاخه جدیدی از ریاضیات، مانند نظریه توابع کلی منجر شده است. این است که با نام هایی مانند شوارتز، J .. Mikusiński و J. معبد در ارتباط است. بر اساس این نظریه، مبنای نظری روشن و دقیق برای چنین بیان شده است به عنوان تابع دلتای دیراک (آن را توصیف منطقه از یک منطقه واحد، متمرکز در یک محله بینهایت کوچک از نقطه) و "گام" هویساید است. بار نقطه، جرم نقطه، دو قطبی مغناطیسی، و بار متمرکز در پرتو: از طریق این کار سری فوریه قابل اجرا برای حل معادلات و مشکلات، که شامل مفاهیم بصری شد.

روش تبدیل فوریه

سری فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده آغاز به ساده تر است. برای مثال، یک تغییر در جریان گرما به دلیل تصویب آن از طریق موانع مختلف از گرما مواد عایق شکل نامنظم و یا تغییر سطح زمین - زمین لرزه، تغییر در مدار جسم آسمانی - تاثیر سیارات است. به طور معمول، این معادلات توصیف ساده ابتدایی سیستم کلاسیک برای هر طول موج منحصر به فرد حل شده است. فوریه نشان داده است که راه حل های ساده می توان به عنوان برای کارهای پیچیده تر خلاصه. در زبان ریاضیات، سری فوریه - یک روش برای ارائه جمع بیان هارمونیک - کسینوس و امواج سینوسی. بنابراین، این تحلیل همچنین تحت نام "تجزیه و تحلیل هارمونیک" شناخته شده است.

سری فوریه - یک روش ایده آل به "عصر کامپیوتر"

قبل از ایجاد روش تکنولوژی کامپیوتر فوریه بهترین سلاح در زرادخانه از دانشمندان با همکاری با طبیعت موجی جهان ما است. سری فوریه در شکل پیچیده شما اجازه می دهد تا نه تنها به حل مشکلات ساده است که متمایل به مستقیم استفاده از قوانین نیوتن در مکانیک، بلکه معادلات اساسی است. بسیاری از اکتشافات علم نیوتنی از قرن نوزدهم تنها با توجه به روش تبدیل فوریه امکان پذیر شد.

سری فوریه امروز

با توسعه تبدیل فوریه کامپیوتر به یک سطح جدید افزایش یافته است. این تکنیک به طور جدی در تقریبا تمام زمینه های علم و فن آوری را مستحکمتر میکند. به عنوان مثال، صوتی دیجیتال و ویدئو. اجرای آن تنها به مدد آن به نظریه توسعه یافته توسط ریاضیدان فرانسوی در اوایل قرن نوزدهم ساخته شده است. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده اجازه داده است به دستیابی به موفقیت در این مطالعه از فضای بیرونی است. علاوه بر این، آن را تا به مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار، زلزله شناسی است.

سری مثلثاتی فوریه

در ریاضیات، یک سری فوریه راهی است برای نشان توابع پیچیده ی دلخواه به عنوان مجموع ساده تر است. در موارد به طور کلی، تعداد عبارات ممکن است بی نهایت. هرچه تعداد شمارش در محاسبه، دقیق تر به نتیجه نهایی به دست آمده است. استفاده از رایج ترین از کسینوس مثلثاتی ساده و یا تابع مثلثاتی. در این مورد، سری فوریه است که به نام مثلثاتی، و تصمیم گیری از عبارت - تجزیه هارمونیک. این روش یک نقش مهمی در ریاضیات دارد. اول از همه، سری مثلثاتی وسیله ای برای تصویر، و همچنین مطالعه از توابع، آن واحد اصلی نظریه است. علاوه بر این، آن را به ما اجازه می دهد تا برای حل تعدادی از مشکلات در فیزیک ریاضی. در نهایت، این نظریه به توسعه کمک تجزیه و تحلیل ریاضی، آن را منجر به ایجاد یک تعداد شاخه بسیار مهم از علم ریاضی (تئوری انتگرال، نظریه توابع تناوبی) داد. علاوه بر این، نقطه شروع برای توسعه در بر داشت زیر نظریه: مجموعه، توابع یک متغیر واقعی، آنالیز تابعی، و همچنین پایه و اساس تجزیه و تحلیل هارمونیک.