مشتق شده از سینوس زاویه به کسینوس زاویه برابر است همان

دانا تابع مثلثات ساده تابع y = sin (x) و مشتق در هر نقطه از کل دامنه است. ما باید ثابت کند که یک مشتق از سینوسی از هر گونه استدلال به کسینوس زاویه همان برابر است، این است که، '= چون (X) است.

اثبات بر تعریف یک تابع مشتق شده بر اساس

X (دلخواه) در برخی از محله های کوچکی از یک نقطه خاص X Δh ₀ تعریف می _کنیم. ما در بر مقدار تابع در آن نشان می دهد، و در نقطه x برای پیدا کردن افزایش یک تابع داده شده است. اگر Δh - بحث افزایش، استدلال جدید - این عدد ₀ + Δx = X، ارزش این تابع برای یک مقدار داده شده از استدلال (X) برابر است گناه (x ₀ + Δx)، مقدار تابع در یک نقطه خاص (X ₀₎ شناخته شده است .

در حال حاضر ما Δu = گناه (x ₀ + Δh) -Sin (X ₀₎ - تابع افزایش دست آمده است.

با توجه به فرمول از مجموع سینوسی از دو زاویه نابرابر ما را به تفاوت Δu تبدیل کنید.

Δu = گناه (x ₀₎ · چون (Δh) + چون (X ₀₎ · گناه (Δx) منهای گناه (x ₀₎ = (چون (Δx) -1 ) · گناه ( X ₀₎ + چون (X ₀₎ · گناه (Δh).

شرایط جایگشت انجام اول تا سوم را گروه بندی می شوند گناه (X _0)، گرفته شده از عامل مشترک - سینوسی - براکت. ما در بیان چون تفاوت (Δh) دریافت -1. این سمت چپ برای تغییر علامت در مقابل پرانتز و براکت. دانستن اینکه چه چیزی است 1-چون (Δh)، ما را به تغییر و به دست آوردن یک عبارت ساده Δu، که سپس توسط Δh تقسیم شده است.
Δu / Δh را به شکل داشته باشد: چون (X ₀₎ · گناه (Δh) / Δh 2 · گناه ² (0.5 X Δh) · گناه (x ₀₎ / Δh. این نسبت از افزایش عملکرد به ورود به افزایش از استدلال است.

آن باقی مانده است برای پیدا کردن حد نسبت به دست آمده توسط ما در طول محدودی Δh، رسیدگی به صفر است.

مشخص شده است که از حد گناه (Δh) / Δx برابر است با 1، تحت شرایط. و بیان 2 · گناه ² (0.5 X Δh) / Δh در نتیجه مجموع تحولات خاص به محصول حاوی به عنوان اولین چند برابر حد قابل توجه: صورت کسر کسر و znemenatel تقسیم 2، مربع از سینوسی جایگزین محصول می باشد. در اینجا نحوه:
(گناه (0،5 · Δx) / (0،5 · Δx)) · گناه (Δx / 2).
حد این عبارت که Δh به سمت صفر، به تعداد صفر (0 ضرب 1) برابر خواهد شد. به نظر می رسد که از حد نسبت Δy / Δh چون است (X ₀₎ · 1-0، این است که چون (X _0)، بیان که مستقل از Δh است رسیدگی به 0. نتیجه گیری: مشتق سینوس هر زاویه برابر با x است کسینوس از x، می تواند به عنوان نوشته شده است: y '= چون (X) است.

فرمول به دست آمده در جدول از مشتقات شناخته شده است، که در آن تمام توابع ابتدایی ذکر شده

در حل مسائل، جایی که او در دیدار مشتق شده از سینوسی، شما می توانید با استفاده از قواعد تمایز و فرمول های آماده ساخته شده از جدول. به عنوان مثال: پیدا کردن مشتق از ساده ترین تابع y = 3 · گناه (x) -15. ما با استفاده از قوانین استنتاج ابتدایی حذف عامل عددی برای علامت مشتق و محاسبه عدد ثابت مشتق (که صفر). درخواست یک مقدار جدول مثلثاتی، به مشتق شده از زاویه x چون برابر (X). دریافت پاسخ است: y '= 3 · کوساین (x) -O. این مشتق، به نوبه خود، یک تابع ابتدایی Y = H است · چون (X) است.

مشتق سینوس مربع از هر گونه استدلال

در محاسبه عبارت (گناه ² (X)) باید تابع مختلط چگونه متفاوت به یاد داشته باشید. بنابراین، ² = گناه (x) - یک تابع قدرت است به عنوان سینوسی مربع. استدلال آن نیز یک تابع مثلثاتی است، یک استدلال پیچیده. در نتیجه در این مورد به کالا ضرب اول برابر است با یک مربع از مشتق پیچیده ای از استدلال، و دوم - مشتق سینوسی است. در اینجا حکومت برای افتراق یک تابع یک تابع است: (U (V () X)) 'است (U (V) (X))' · (V (X)). بیان V (X) - یک استدلال پیچیده (تابع داخلی). اگر تابع داده شده "y برابر سینوس مربع X"، مشتق این تابع کامپوزیت y است '= 2 · گناه (x) · چون (X) است. این محصول از چند برابر برای اولین بار دو برابر - مشتق تابع نمایی شناخته شده، و چون (X) - سینوس مشتق استدلال پیچیده از تابع درجه دوم. نتیجه نهایی را می توان با استفاده از فرمول سینوسی مثلثاتی از زاویه دو تبدیل شده است. پاسخ: مشتق گناه است (2 · X) است. این فرمول آسان به خاطر داشته باشید، آن است که اغلب به عنوان یک جدول استفاده می شود.